Comment écrire de belles formules en html ?

Aller sur le site

https://www.mathjax.org/#features et aussi sur http://jsbin.com/?html,output

Je donne un petit exemple :

Quand \(a \ne 0\) et \(b^2-4ac >0\), il y a deux solutions à l’équation \(ax^2 + bx + c = 0\) qui sont
\[x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.\]

Dans le cas où \(a,\ b,\ c\) sont des nombres complexes, avec \(\delta\) une solution de l’équation \(\delta^2=b^2-4ac\), sous les conditions ci-dessus, on retrouve là aussi 2 solutions à l’équation \(ax^2+bx+c=0\) qui sont
\[x= \frac{-b\pm \delta}{2a}.\]

Bon, maintenant, passons à quelque chose de plus sérieux :

Autour des nombres de Bernoulli :

1 – Montrer que, si \(|x|\le\dfrac 12,\ z\in\mathbb C\setminus\mathbb Z\) :

\[\cos(2\pi zx)=\sum\limits_{n\in \mathbb Z}(-1)^n\dfrac{z\sin (\pi z)}{\pi(z^2-n^2)}e^{i2\pi nx}.\]

En déduire les développements d’Euler :
\[
\pi \text{cotan} (\pi z)=\dfrac 1z+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \dfrac{2z}{z^2-n^2}\quad
\text{ et }
\quad \dfrac{\pi}{\sin (\pi z)}=\dfrac 1z+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n2z}{z^2-n^2}.
\]

2 – On pose \(\zeta(2k)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac 1{n^{2k}}\) (\(\zeta\) fonction de Riemann).

Prouver que
\[\pi \text{cotan} (\pi z)-\dfrac 1z
=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{2z^{2k-1}}{n^{2k}}\right) \text{ pour }|z|<1.
\]

En déduire que \(\pi\text{cotan} (\pi z)=\dfrac 1z-2\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \zeta(2k)z^{2k-1}\) et donner le développement en série entière de \(\tan x\).

Démontrer ensuite la relation suivante~:
\[
\dfrac t{e^t-1}=1-\dfrac t2+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\dfrac{\zeta(2k)t^{2k}}{2^{2k-1}\pi^{2k}}\
(|t|<2\pi).
\]

3 – Soient \(b_0=1\), \(b_1=-\dfrac 12\), \(b_{2k-1}=0\), \(b_{2k}=(-1)^{k+1}\dfrac{(2k)!\zeta(2k)}{2^{2k-1}\pi^{2k}}\)
les nombres de Bernoulli ;

montrer que \(b_0+\binom{n}1b_1+\cdots+\binom{n}{n-1}b_{n-1}=0\),
en déduire ~: \(b_2=\dfrac 16\), \(b_4=-\dfrac 1{30}\), \(b_6=\dfrac 1{42}\), \(b_8=-\dfrac 1{30}\) ; calculer
\(\zeta(2k)\) pour \(k\in\{1,2,3,4\}\).

Ceci  donne un avant (ou après ?) goût de ce que l’on peut faire avec les séries de Fourier.

Ceci correspond à l’exercice 2.3.5 sur les séries